今天，我和一个刚开始学微积分的朋友聊天，他对导数除法法则感到有些困惑。他问我：“商的导数是怎么来的呀？我总觉得这个公式有点难记，能不能从基础推导一下？”听了他的问题，我决定详细地和他分享一下导数除法法则的证明过程。
首先，我们需要回忆一下导数的基本概念。导数是函数在某一点的变化率，或者说函数在该点的切线斜率。对于两个函数f(x)和g(x)，我们已经知道了它们的导数f’(x)和g’(x)。现在，我们想知道它们的商h(x) = f(x)/g(x)的导数是多少。
为了求h(x)的导数h’(x)，我们可以使用导数的定义式。也就是说，h’(x) = lim(h→0) [h(x+h) h(x)] / h。将h(x) = f(x)/g(x)代入进去，我们得到：
h’(x) = lim(h→0) [f(x+h)/g(x+h) f(x)/g(x)] / h
接下来，我们需要对这个表达式进行变形，以便能够应用已知的导数规则。我们可以将分子部分进行通分：
[f(x+h)g(x) f(x)g(x+h)] / [g(x)g(x+h)]
因此，h’(x)可以写成：
h’(x) = lim(h→0) [f(x+h)g(x) f(x)g(x+h)] / [g(x)g(x+h)h]
现在，我们可以将分子部分分成两个部分：
[f(x+h)g(x) f(x)g(x)] + [f(x)g(x) f(x)g(x+h)]
于是，h’(x)变为：
h’(x) = lim(h→0) [f(x+h)g(x) f(x)g(x) + f(x)g(x) f(x)g(x+h)] / [g(x)g(x+h)h]
接下来，我们可以将分子分成两个部分来处理：
第一部分：[f(x+h)g(x) f(x)g(x)] / [g(x)g(x+h)h]
第二部分：[f(x)g(x) f(x)g(x+h)] / [g(x)g(x+h)h]
对于第一部分，我们可以提取出g(x)：
g(x) [f(x+h) f(x)] / [g(x)g(x+h)h] = [f(x+h) f(x)] / [g(x+h)h]
当h趋近于0时，这部分的极限就是f’(x)/g(x)。
对于第二部分，我们可以提取出f(x)：
f(x) [g(x) g(x+h)] / [g(x)g(x+h)h] = f(x) [g(x+h) g(x)] / [g(x)g(x+h)h]
当h趋近于0时，这部分的极限是 f(x)g’(x)/g(x)²。
将这两部分的极限相加，我们得到h’(x)：
h’(x) = f’(x)/g(x) f(x)g’(x)/g(x)²
为了方便记忆，我们可以将这个结果写成：
h’(x) = [f’(x)g(x) f(x)g’(x)] / [g(x)]²
这就是导数除法法则的证明过程。通过一步步的推导，我们可以清晰地看到商的导数是如何得来的。希望这个推导过程能帮助你更好地理解和记忆导数除法法则。
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